\(\dfrac{1}{\left(1+a^2\right)}+\dfrac{1}{\left(1+b^2\right)}\ge\dfrac{2}{\left(1+ab\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)+\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow1+b^2+ab+ab^3+1+a^2+ab+a^3b-2\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Điều này hiển nhiên đúng do ab \(\ge\) 1, (a-b)² \(\ge\) 0

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Có: \(a+b+c=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\) 

\(\Leftrightarrow2009+2\left(ab+bc+ac\right)=0\) 

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=-\frac{2009}{2}\) 

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)=\left(-\frac{2009}{2}\right)^2\) 

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=\left(-\frac{2009}{2}\right)^2\) 

Mặt khác: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)  

\(=a^4+b^4+c^4+2.\left(-\frac{2009}{2}\right)^2=2009^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2009^2-2.\left(-\frac{2009}{2}\right)^2=2009^2-2.\frac{2009^2}{2^2}=2009^2-\frac{2009^2}{2}\)

                                                                                                                                             --Hà Phương--

Theo đề \(B=\frac{a^2+a+2}{ab-1}\)

và a,b nguyên dương nên a,b lờn hơn hoặc bằng 1 với a khác b

Để B nguyên thì \(a^2+a+2⋮ab-1\)

\(\Rightarrow a^2b+ab+2b⋮\left(ab-1\right)\Leftrightarrow a\left(ab-1\right)+\left(ab-1\right)+a+1+2b⋮\left(ab-1\right)\)

\(\Leftrightarrow a+2b+1⋮\left(ab-1\right)\)

Suy ra : a +2b +1 lớn hơn hoặc bằng ab-1

Phân tích ta được (b-1)(2-a)<=4

Nếu (b-1)(2-a)>= 0 thì (b-1)(2-a) thuộc {0;1;2;3;4} Tự => nghiệm ( a;b )

Nếu (b-1)(2-a) <0 thì (b-1) ; (2-a) trái dấu => [ b>= 2 và a >= 3 ] hoặc [ 0>= b và 1>=a ( loại ) ]

Nhưng do a,b nguyên dương nên ta được vô số nghiệm (a;b)

     $\sum \left ( \frac{a^{2}}{b}-2a+b \right )\geq \frac{4\left ( a-b \right )^{2}}{a+b+c}$  (1)

     $\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( a-b \right )^{2}}{b}\geq \frac{4\left ( a-b \right )^{2}}{a+b+c}$

     $VT\geq \frac{\left ( \left | a-b \right |+\left | b-c \right |+\left | c-a \right | \right )^{2}}{a+b+c}$

     Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $\left | a-b \right |=min\left \{ \left | a-b \right |;\left | b-c \right      |;\left | c-a \right | \right \}$

     Khi đó ta suy ra $\left | a-b \right |+\left | b-c \right |+\left | c-a \right | \geq 2\left | a-b \right |$

     Từ đây (1) đã được chứng minh. Vậy bài toán hoàn tất.

      Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ và $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}c;c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$